首先，齒輪能夠轉動就是因為上齒輪和下齒輪之間要形成一對良好的傳動關系，只有兩者之間的銜接到位了，所以它的運行才能是一個平穩的關系。拿漸開齒輪來說，兩個齒輪之間嚙合好才能發揮它的作用，具體又分成了直齒圓柱齒輪和斜齒的圓柱齒輪這兩種。
標準的直齒輪它的齒頂高的系數是一，齒跟高的系數是1.25，而它的壓力角的度數要達到20度，齒輪加工時如果齒胚和刀具之間就像是兩個齒輪一樣。
如果胚的齒數小于一個特定值的時候齒根的根部就會被挖去一部分，就叫做根切，如果根切小了之后就會影響到齒輪的強度和平穩性。這里所說的17個是針對齒輪來說的，如果不談齒輪的工作效率的話不管多少個齒它都會工作，也能運行。
此外，17它是一個質數，也就是說齒輪的某個齒和其他的齒輪的某個重合次數在一定圈數下最少，受力時就不會長期在這一個點上。齒輪屬于精密儀器，雖然在每個齒輪上都會產生誤差，但是17這個產生輪軸磨損的幾率實在是太大了，所以如果是17的話，短期動一會還行，長期的話就不能了。
但是，問題來了！市面上還有很多小于小于17個齒的齒輪，照樣轉的好好的，有圖有真相！
有網友指出，事實上，如果換一種加工方法，制造齒數小于17的標準漸開線齒輪是可以的。當然，這樣的齒輪用起來也是很容易卡住的（由于齒輪干涉，找不到圖，請腦補），這樣也就真的轉不動了 。對應的解決方法也很多，變位齒輪是最常用的一種（通俗的說就是切的時候把刀具挪開一點），另外也可以有斜齒輪，擺線齒輪等等。還有就是泛擺線齒輪。
另一位網友觀點：大家似乎還是太過相信書了，不知道有多少人在工作中對齒輪徹徹底底研究過的，機械原理一課中對于漸開線直齒齒輪齒數大于17不產生根切的推導是基于加工齒輪的齒條刀具的前刀面頂部圓角R為0，而實際上工業生產中的刀具怎么會沒有R角呢？（沒有R角刀具熱處理是尖銳部分應力集中容易崩裂，使用過程中容易磨損或者崩裂）而且就算是刀具沒有R角根切發生的最大齒數也未必是17齒，所以17齒作為根切條件的說法其實是有待商榷的！上幾幅圖大家看看吧。
中的齒根部分的紫色延伸外擺線的等距曲線就是齒根根切后的齒廓線，一個齒輪的齒根部分根切到什么地步就會影響使用呢？這是由另外一個齒輪齒頂的相對運動和齒輪齒根的強度儲備共同決定的，如果配對齒輪的齒頂不會和根切部分嚙合那這兩個齒輪就可以正常旋轉，（注：根切部分是非漸開線齒廓，一個漸開線齒廓和一個非漸開線齒廓嚙合在非特異設計的場合通常是無法共軛的，也就是要干涉的）。
從這張圖上可以看出這兩個齒輪的嚙合線剛剛擦著兩齒輪的過渡曲線所對的最大直徑圓（注：紫色部分為漸開線齒廓，黃色部分為根切部分，嚙合線是不可能進入基圓以下的，因為基圓以下是不可能有漸開線的，兩齒輪在任意位置的嚙合點皆在這條線上），也就是這兩齒輪剛剛可以正常嚙合，當然這在工程上是不允許的，嚙合線長度為142.2，此值/基節=重合度。
還有人說：首先這個題設錯誤，齒輪小于17個齒不會影響使用（答案第一中這一點的描述出現錯誤，齒輪正確嚙合的三個條件中與齒數無關），但是17個齒在某些特定情況下會出現加工不便的情況，這里更多的是補充一些關于齒輪的相關知識。
先說漸開線，漸開線是使用最廣泛的齒輪齒廓的類型。那么為什么是漸開線？這個線跟直線、圓弧有什么區別？如下圖所示為一漸開線（這里只有半個齒的漸開線）。
漸開線用一句話說就是假定一直線和其上一不動點，在該直線沿一個圓滾動時，那個不動點所走過的軌跡。它的好處顯而易見，當兩個漸開線互相嚙合時，如下圖。
兩輪轉動時 ，在接觸點 （如 M , M’ ）上力的作用方向恒在同一直線上上 ，而且這根直線與兩個漸開線形的接觸面 （切面）保持垂直 ，由于垂直，它們之間不會產生“打滑”和“摩擦”，這也就客觀上減小了齒輪嚙合的摩擦力，不僅能提高效率，還能延長齒輪的壽命。
當然，作為應用最多的一種齒廓形式——漸開線，并不是我們唯一的選擇。
再說“根切”，作為工程師，我們不僅僅要考慮理論層面可不可行，效果好不好，更為關鍵的在于要想辦法讓理論上的東西呈現出來，這涉及到選材、制造、精度、檢測等等環節。
齒輪常用的加工方式一般分為成形法和范成法，成形法也就是通過制造與齒之間的間隙形狀相對應的刀具，直接切出齒形，這個一般有銑刀、蝶形砂輪等；范成法比較復雜，大家可以理解為兩個齒輪在嚙合，其中一個齒輪很硬（刀具），另一個則還處于毛胚狀態，嚙合的的過程是由離得很遠逐漸運動到正常嚙合狀態，在這個過程中切削產生新齒輪，有興趣的可以找《機械原理》具體學習。
范成法的使用很廣泛，但是當齒輪齒數較少時，就會出現刀具的齒頂線與嚙合線的交點，超過被切齒輪的嚙合極限點的情況，這時待加工齒輪的根部就會被過切除，由于被根切的部分超過了嚙合極限點，它并不影響齒輪的正常嚙合，但這樣的壞處在于它削弱了輪齒的強度，這樣的齒輪用在變速箱等重載場合時，就容易出現輪齒折斷的情況，如圖為2模8齒齒輪正常加工后的模型（有根切）。
而17是在我國齒輪標準的情況下計算出的極限齒數，齒數小于17的齒輪在使用范成法正常加工時就會出現“根切現象”，這時便要調整加工方法，如變位，如圖為變位加工的2模8齒齒輪（小根切）。
當然這里描述的內容很多內容是不全面的，機械中還有很多更有意思的零件，在工程中制造這些零件面臨的問題也更多，有興趣的金粉不妨多關注關注。
結論：17個齒來自于加工方式，也取決于加工方式，如果更換或者改進齒輪的加工方式如成形法、變位加工（這里特指直齒圓柱齒輪），就不會出現根切現象，也就沒有17個齒的極限數量問題。
另外從這個問題及其答案可以看出機械學科的一個特點——理論與實踐高度結合。
機械液壓論壇觀點：首先，齒輪少于17個齒就不能轉的說法是不正確的，下面我們簡單介紹一下17個齒這個數字是怎么來的。
齒輪是指輪緣上有齒輪連續嚙合傳遞運動和動力的機械元件，齒輪齒廓有漸開線形，圓弧形等，漸開線形齒輪應用比較廣泛。
漸開線齒輪又分直齒圓柱齒輪/斜齒圓柱齒輪等，對于標準的直齒圓柱齒輪，齒頂高系數為1，齒根高系數為1.25，壓力角為20°。齒輪加工時一般采用范成法加工，即加工時刀具與齒坯的運動就像一對互相嚙合的齒輪。對于標準齒輪加工，如果齒數小于某一特定值，在齒坯的根部的漸開線輪廓就會被挖去一部分，這就叫根切，如下左圖，根切會嚴重影響齒輪的強度和傳動的平穩性，這個不發生根切的最小值是 2*1/sin（20）^2(1就是齒頂高系數，20就是壓力角 )。
這里的17個齒是針對標準直齒圓柱齒輪而言的，我們有很多辦法來，避免發生根切，比如齒輪變位，即將刀具遠離或靠近輪坯回轉中心，這里為了避免發生根切需要選擇遠離輪廓回轉中心，如下右圖，是不是完整的漸開線輪廓線又出來了。
齒輪變位之后，齒輪就又可以不受影響的轉起來了，上面通過適當的變位，5個齒的齒輪也可以轉了。
其實斜齒輪也可以避免避免齒輪根切，或者降低發生根切的最小齒數值。
17這個數字是計算出來的。并不是說少許17個齒輪就轉不起來，而是如果少于17個齒，容易在齒輪加工時將齒輪根部以加工出的間開線部分切去一部分，即根切，造成齒輪強度減弱。至于怎么計算的，完全是數學問題，參照上面的公式，捏合角a=20度是，最小不發生根切的最小齒數是17個。
網友觀點：齒輪的齒數能不能少于17是一個值得考慮的問題。對于標準齒輪來說，齒數還真不能少于17，為什么呢。因為當齒數少于17時，齒輪會發生根切現象。
所謂根切是指用范成法切齒時，在一定的條件下，刀具的齒頂過多地切入輪齒的根部，而將齒根的漸開線齒廓切去一部分。
范成法
范成法(或稱展成法)是運用幾何學上的包絡原理加工齒輪的一種方法。在給定了兩齒輪的漸開線齒廓和主動輪角速度w1后，通過兩齒廓的嚙合就可獲得從動輪的角速度w2，且使i12=w1/w2=定值。因為兩齒廓嚙合中，兩節圓作純滾動，節圓1在節圓2上純滾的過程中，齒輪1的齒廓對于齒輪2將占據一系列相對位置，而這一系列相對位置的包絡線就是齒輪2的齒廓，也即在兩節圓作純滾動時，兩漸開線齒廓可看作互為包絡線。
根切現象
產生根切的原因：當刀具齒頂線與嚙合線的交點超過嚙合極限點N1，刀具由位置Ⅱ繼續移動時，便將根部已切制出的漸開線齒廓再切去一部分。
根切的后果：產生嚴重根切的齒輪，一方面削弱了輪齒的抗彎強度；另一方面將使齒輪傳動的合度有所降低，這對傳動是十分不利的。產生根切的原因：當刀具齒頂線與嚙合線的交點超過嚙合極限點N1，刀具由位置Ⅱ繼續移動時，便將根部已切制出的漸開線齒廓再切去一部分。
對于非標準齒輪，齒數少于17是可以的。